himpunan dalam matematika

videoteori himpunan dengan diagram venn

Teori Himpunan

Saturday, June 8th 2013. | Himpunan

advertisements

Kali ini kita akan mengulas kembali tentang himpunan, baik dari pengertian, penyajian, operasi dan jenis-jenis himpunan yang pastinya  tidak asing lagi bagi pembaca sekalian.

Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangan yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan huruf kapital A, B, C, … sedangkan untuk menyatakan anggotanya digunakan huruf kecil a, d, c, …

Terdapat 4 cara untuk menyatakan suatu himpunan :

1. Enumerasi, yaitu dengan mendaftarkan semua anggotanya yang diletakan didalam sepasang tanda kurung kurawal dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh : A = {a, i, u,e, o}.
2. Simbol baku, yaitu dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh : P adalah himpunan bilangan bulat positif dan R adalah himpunan bilangan riil.
3. Notasi pembentukan himpunan, yaitu denganmenuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum dari anggota. Contoh : A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat positif}
4. Diagram venn, yaitu dengan menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta yang digambarkan dengan segi empat. Contoh :

Untuk lebih memahami diagram venn berikut ini beberapa contoh diagram venn

Selanjutnya untuk lebih memahami tentang himpunan pelajari juga operasi-operasi dalam himpunan berikut ini.

Operasi Himpunan dalam diagram venn

Hukum dan Sifat-sifat Operasi Himpunan

Jenis-jenis himpunan

Perkalian Himpunan ( Cartesian Product )

Jika kita menemukan soal tentang perkalian himpunan kita dapat mengerjakan seperti contoh berikut :

Notasi:
A x B = …???
A = {a,b,c}
B = {p,q}

A x B = {(a,p),(a,q),(b,p),(b,q),(c,p),(c,q)}

Catatan:
(a,b) = (a,b)
(a,b) K (b,a)

materi matriks dan videonya

Materi Matriks Lengkap Dan Contohnya

Tuesday, August 13th 2013. | Matriks

advertisements

Matriks dalam matematika merupakan kumpulan bilangan, simbol atau ekspresi berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat pada suatu matriks disebut dengan elemen atau disebut juga anggota dari suatu matriks. Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom yaitu sebagai berikut

Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear, transformasi linear yakni bentuk umum dari fungsi linear contohnya rotasi dalam 3 dimensi. Matriks juga seperti variabel biasa, sehingga matrikspun dapat dimanipulasi misalnya dikalikan, dijumlah, dikurangkan, serta didekomposisikan. Menggunakan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.

Operasi Dasar Matriks :

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Penjumlahan serta pengurangan dalam matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks mempunyai ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen dalam suatu matriks yang dijumlahkan atau dikurangan yaitu elemen yang memilki posisi/letak  yang sama.

representasi dekoratifnya sebagai berikut

2. Perkalian Skalar

Perkalian matriks dilakukan dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, selanjutnya dijumlahkan pada kolom yang sama

 dan 

maka 

contoh perhitungan :

Ordo suatu matriks merupakan bilangan yang menunjukan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n). Sebagai contoh :  merupakan matriks berordo 3×2

Matriks Identitas

Matriks Identitas adalah matriks yang anggota pada diagonal utamanya selalu 1

Matriks Transpose (A^t)

Matriks transpose merupakan matriks yang mengalami pertukaran elemen dari kolom menjadi baris atau sebaliknya. Contoh :

maka matriks transposenya (A^t) adalah 

Contoh – contoh :

1. Kesamaan Dua Matriks

Tentukan nilai 2x-y+5z!

Jawab:

 maka 

 maka 

 maka 

2. 

3. Contoh Perkalian matriks dengan variabel

4. 

Determinan Suatu Matriks

Untuk menentukan determinan dari suatu matriks dapat digunakan beberapa cara :

1. Misalnya terdapat matriks  yang berordo 2×2 dalam menentukan determinan dari matrikas A yang biasa ditulis |A| adalah

2. Metode Sarrus

Misalnya terdapat  maka untuk menentukan nilai determinan dari matriks A tersebut

Ubah matriks dalam bentuk seperti diatas selanjutnya perhitungannya dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas kekanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) kemudian dikurangi dengan elemen dari kanan atas kekiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) maka akan menjadi

Sebagai contohnya

maka tentukan 

3. Metode Ekspansi Baris dan Kolom

Jika diketahui  maka untuk menentukan determian dari matriks P

Matriks Singular

Matriks Singular yaitu matriks yang nilai determinannya 0.

Sebagai contoh

Jika A matriks singular, tentukan nilai x!

Jawab:

 vs 

Invers Matriks

Misalnya diketahui   maka invers dari matriks A

Sifat-sifat dari invers suatu matriks :

Persamaan Matriks

Tentukan X matriks dari persamaan:

• Jika diketahui matriks A.X=B

• Jika diketahui matriks X.A=B

Video Pengertian Matriks Dan Contoh Soalnya

Sekian penjelasan singkat mengenai Matriks Semoga dapat bermanfaat sebagai referensi matematika yang dapat digunakan setiap saat ketika anda membutuhkan. Untuk referensi lain baca juga Integral Lipat Duaatau Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat yang telah saya berikan sebelumnya.